刘永中
1 重心
定义 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心
重要性质 三角形的重心把每条中线分成1∶2两部分.
例1 如图1，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G.设△EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1∶S2=.
解 因为点F是△ABC的重心，
所以BF=2EF，
所以BE=3EF，
因为FG∥BC，
所以△EFG∽△EBC，
所以EFBE=13，
S1S△EBC=132=19，
所以S1∶S2=1∶8.
2 内心
定义 三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心.
重要性质 三角形的内心是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.
例2 问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等.若一个多边形的每个内角角平分线都交于一点O，点O叫做该多边形的内心，点O到其中一边的距离叫做r.
问题解决：如图2，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内心O到边AC的距离为r，则说明r=.
类比推理：如图3，存在内心O的四边形ABCD的面积为S，周长为l，用含有S与l的式子表示内心O到边AB的距离r=.
理解应用：如图4，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=BC=13，对角线BD=20，点O1与O2分别为△ABD与△BCD的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为r1和r2，求r1r2的值.
解 问题解决：如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r.连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形.
因为 S=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=12BC·r+12AC·r+12AB·r
=12（a+b+c）·r，图5
所以r=2Sa+b+c.
类比推理：如图5中，连接OA，OB，OC，OD，
因为S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD
=12a·r+12b·r+12c·r+12d·r
=12（AB+BC+CD+AD）r
=12lr，
所以r=2Sl.
理解应用：因为AB∥CD，
所以S△ABD∶S△BCD=AB∶CD=21∶11;
因为r1=2S△ABDAB+BD+AD=2S△ABD54，
r2=2S△CDBCD+CB+BD=2S△CDB44，
所以r1r2=2S△ABD542S△CDB44=2227×S△ABDS△CDB=2227×2111=149.
3 外心
定义 三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心.
重要性质 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
例3 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm，8cm，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是cm.
解 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，图6
AC=6cm，BC=8cm，
所以AB=10cm，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则 OD=OE=r，
因为∠C=90°，
所以CE=CD=r，
AE=AN=6-r，
BD=BN=8-r，
所以8-r+6-r=10，
解得r=2cm，
所以AN=4cm，
在Rt△OMN中，MN=AM-AN=1cm，
所以OM=5cm.
4 垂心
定义 三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心.
重要性质 三角形的任意两个顶点和对应重足四点共圆.
例4 如图7，△ABC的三条高AD，BE，CF交于点O，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为.
解 因为AD，BE，CF为△ABC的三條高，
所以B，C，E，F四点共圆，
于是∠AEF=∠ABC，
∠AFE=∠ACB，
所以△AEF∽△ABC，
所以AFAC=EFBC=35，
即cos∠BAC=AFAC=35，
所以sin∠BAC=1-352=45，
所以在Rt△ABE中，
BE=ABsin∠BAC=6×45=245.
总之，三角形的重心、内心、外心、垂心在中考试题中频繁出现，把握其性质，灵活运用是关键.
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